Konkavität

Konkavität ist eine Eigenschaft von geometrischen Formen, Kurven, Flächen oder Funktionen, die nach innen gebogen oder eingerückt wirken. In der Geometrie steht sie im Gegensatz zur Konvexität: Eine Fläche oder Figur ist konkav, wenn sie Einbiegungen nach innen besitzt und nicht durchgängig nach außen gewölbt ist. Bei Polygonen bedeutet Konkavität, dass mindestens ein Innenwinkel größer als 180 Grad ist oder dass eine Verbindung zweier Punkte im Inneren der Figur eine Strecke außerhalb der Figur schneidet.

In der Analysis beschreibt Konkavität das Verhältniß einer Funktion gegenüber dem Linearen: Eine Funktion f ist konkav, wenn für alle x, y im Definitionsbereich und alle t mit 0 ≤ t ≤ 1 gilt f(tx + (1 − t)y) ≥ t f(x) + (1 − t) f(y). Damit liegt der Graph einer konkaven Funktion „über“ jeder Tangente. Eine zweimal differenzierbare Funktion ist konkav auf einem Intervall genau dann, wenn die zweite Ableitung f''(x) ≤ 0 für alle x im Intervall gilt. Typische Beispiele für konkave Funktionen sind die Quadratwurzel-Funktion f(x) = √x auf (0, ∞) und die Funktion f(x) = −x^2.

Anwendungen finden sich in Optimierung, Ökonomie und Statistik: Bei konkaven Funktionen garantieren lokale Extrema oft globale Extrema, was Analysen vereinfacht. In der Ökonomie wird Konvexität bzw. Konkavität von Nutzen- oder Produktionsfunktionen genutzt, um Effizienz- und Grenzwerte zu charakterisieren. Es gibt auch technisches Vokabular wie konkave Spiegel oder Linsen, die nach innen gewölbt sind und unterschiedliche optische Eigenschaften besitzen.