Erhaltungsgleichung

Eine Erhaltungsgleichung beschreibt in der Physik eine Größe, die in einem abgeschlossenen System zeitlich unverändert bleibt, solange kein Austausch mit der Umgebung stattfindet. Typische Erhaltungsgrößen sind Masse, Impuls, Energie, Ladung oder chemische Spezies. Die lokale Form einer Erhaltungsgleichung hat meist die Struktur ∂t u + ∇·F = 0, wobei u die Erhaltungsgröße als Dichte und F der zugehörige Fluss ist.

Berücksichtigt man Quellen oder Senken, erscheint ein zusätzlicher Term S auf der rechten Seite: ∂t u + ∇·F = S. Die äquivalente Integraldarstellung über ein Volumen V ergibt d/dt ∫V u dV = - ∮∂V F·n dS + ∫V S dV. In geschlossenen Systemen ohne S bleibt die Gesamtmenge von u konstant, sofern kein Fluss durch die Grenze stattfindet.

Beispiele: Die Massenerhaltung in der Strömungsmechanik führt zur Kontinuitätsgleichung ∂t ρ + ∇·(ρ v) = 0. Die Impulserhaltung liefert in einfacher Form ∂t(ρ v) + ∇·(ρ v⊗v) + ∇p = 0. Die Energieerhaltung kann in der Form ∂t(ρ e) + ∇·((ρ e + p) v) = 0 erscheinen. In der Elektrodynamik gilt für die Ladung die Kontinuitätsgleichung ∂t ρ_q + ∇·J_q = 0.

Erhaltungsgleichungen sind zentrale Werkzeuge in Physik, Ingenieurwissenschaften und Chemie. Sie ergeben sich häufig aus Symmetrien der Natur und bilden die Grundlage für Bilanzierung und Modellierung in Bereichen wie Fluiddynamik, Thermodynamik, Plasmaphysik und chemischen Reaktionen.