Strömungsfunktion

Strömungsfunktion ψ ist in der zweidimensionalen Strömungsmechanik eine skalare Funktion, die eine inkompressible Geschwindigkeit beschreibt. Für einen Geschwindigkeitsvektor u(x, y) = (u, v) gilt dann: u = ∂ψ/∂y und v = -∂ψ/∂x. Die Konturen von ψ entsprechen den Strömlinien, und der Geschwindigkeitsvektor ist überall tangential zu einer solchen Linie. Damit ist die Kontinuitätsgleichung ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 automatisch erfüllt.

Beziehung zur Zirkulation und Zirkulationstheorie: Die Zirkulation ω = ∂v/∂x - ∂u/∂y lässt sich durch ψ ausdrücken als ω = -∇²ψ. Somit erfüllt ψ im zweidimensionalen Fall die Poisson-Gleichung ∇²ψ = -ω. Bei irrotierter Strömung (ω = 0) ist ψ harmonisch, d. h. ∇²ψ = 0.

Interpretation von Randbedingungen: Der Wert von ψ ist entlang jeder Strömlinie konstant. Der Unterschied Δψ zwischen zwei Grenzen entspricht dem Volumenfluss durch den dazwischen liegenden Querschnitt. Auf einer festen Wand, die eine Strömlinie bildet, ist ψ konstant; unterschiedliche ψ-Werte an benachbarten Linien geben den durchfließenden Massenstrom an.

Anwendung und Grenzen: Die Strömungsfunktionsdarstellung wird vor allem bei theoretischen Analysen und numerischen Berechnungen zweidimensionaler, inkompressibler Strömungen verwendet. Sie eliminiert den Druck als Variable in der Grundform der Gleichungen und liefert eine direkte Beschreibung von Strömlinien und Vorticity.

Allgemeine Erweiterungen: In drei Dimensionen genügt eine einzelne Strömungsfunktion nicht, daher verwendet man Vektor- oder mehrere Strömungsfunktionen (z. B. Stokes- oder Achsenstromfunktionen) oder andere Formulierungen. Die Grundidee lässt sich jedoch in spezielle Achsenströmungsfälle fortsetzen.