PoissonGleichung

Die Poisson-Gleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung der Form Δu(x) = f(x) auf einem Gebiet Ω, wobei Δ der Laplace-Operator ist, Δu = ∑_{i=1}^n ∂²u/∂x_i². Die Funktion f wird als Quellterm oder Quelle bezeichnet. Verschiedene Spezialfälle treten auf, etwa wenn f ≡ 0 die Laplace-Gleichung ergibt und harmonische Funktionen beschreibt.

Aufgabentypen umfassen Randwertprobleme, bei denen die Lösung u durch Randbedingungen in der Umgebung von Ω bestimmt wird. Typische Randbedingungen sind Dirichlet-Bedingungen u = g auf dem Rand ∂Ω, Neumann-Bedingungen ∂u/∂n = h bzw. Robin-Bedingungen αu + β(∂u/∂n) = γ. Die existenz- und eindeutigkeitsfragen hängen von der Geometrie von Ω, der Regularität von f und den gewählten Randbedingungen ab.

Analytische Lösungen beruhen oft auf Green'schen Funktionen oder Transformationsmethoden. In ganz Räumen hat die Poisson-Gleichung mit f als Quellterm die Lösung u = f konvolïert mit der Fundamentallösung von Δ. In drei Raumdimensionen ist G(x) = 1/(4π|x|), in zwei Dimensionen G(x) = −(1/2π) log|x|. Fourier- oder Laplace-Transformationen ermöglichen die Behandlung von unendlichen Gebieten.

Numerische Verfahren dominieren praktisch die Lösung von Poisson-Gleichungen in komplexen Geometrien. Wichtige Methoden sind Finite-Differenzen- und Finite-Elemente-Verfahren; sie verwenden diskrete Gitter bzw. Variationsformen. Typische Lösungsstrategien umfassen iterative Verfahren (Gauss-Seidel, SOR, Multigrid) und Domain-Decomposition.

Anwendungen finden sich in Elektrostatik und Gravitation, Wärmeleitung im stationären Zustand, Kontinuumsmechanik und Bildverarbeitung. Die Poisson-Gleichung dient dort zur Modellierung von Potentialen, Feldern oder Verteilungen von Quellen in Raum und Zeit.