Differentialgleichung

Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Sie dient dazu, Beziehungen zwischen einer Größe und ihren Änderungsraten zu beschreiben. Differentialgleichungen spielen eine zentrale Rolle in Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaft, weil viele dynamische Prozesse durch Änderungsraten bestimmt werden.

Man unterscheidet sie nach der Anzahl der unabhängigen Variablen als gewöhnliche Differentialgleichungen (ODGL) und partiellen Differentialgleichungen (PDGL). Weiter nach Ordnung n, der höchsten Ableitung, sowie nach Linearität (linear vs. nichtlinear) und nach Homogenität (homogen vs. inhomogen). ODGL können lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten, nichtlineare Gleichungen oder Gleichungen mit Variablenabhängigkeiten sein.

Eine Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion bzw. ein Funktionssystem, das die Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung enthält Integrationskonstanten; spezielle Lösungen erfüllen zusätzlich Anfangs- oder Randwerte (Anfangs- oder Randwertprobleme).

Beispiele: Die erste Ordnung dy/dx = y hat Lösung y(x) = C e^x. Die zweite Ordnung d2y/dx2 + y = 0 hat Lösungen y(x) = A cos x + B sin x.

Lösungsmethoden umfassen analytische Verfahren wie Trennung der Variablen, Integrationsfaktor, Variation der Konstanten, sowie lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten (charakteristische Gleichung). Für PDGL kommen Separation, Laplace- oder Fourier-Transformationen und Greensche Funktionen zum Einsatz. Numerische Verfahren wie das Euler-Verfahren oder das Runge-Kutta-Verfahren werden genutzt, wenn eine analytische Lösung nicht möglich ist.

Es existieren grundlegende Theoreme über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, z. B. Voraussetzungen der Picard–Lindelöf-Bedingungen. Anwendungen finden sich in Physik, Chemie, Biologie, Ökonomie und Technik.