Änderungsraten

Änderungsrate bezeichnet in der Mathematik und den Anwendungsfeldern die Geschwindigkeit, mit der eine Größe y in Abhängigkeit von einer anderen Größe x sich ändert. In zeitlicher Betrachtung ist sie häufig die Veränderung pro Zeiteinheit.

Die durchschnittliche Änderungsrate über ein Intervall [t1, t2] errechnet sich als (y(t2) − y(t1)) / (t2 − t1). Die instantane Änderungsrate ist die Ableitung dy/dt und gibt die Änderungsgeschwindigkeit zu einem konkreten Zeitpunkt an; grafisch entspricht sie dem lokalen Anstieg der Funktionskurve.

Eine verwandte Größe ist die relative oder prozentuale Änderungsrate, also die Änderungsrate bezogen auf die Größe selbst (1/y) dy/dt; als Näherung der prozentualen Veränderung pro Zeiteinheit wird oft Δy/y0 pro Δt verwendet.

Beispiele: Bei einer Funktion y = f(t) liegt dy/dt in Einheiten von y pro Zeiteinheit. Bezüglich praktischer Anwendungen: Geschwindigkeit ist die Änderungsrate der Position, Bevölkerungswachstum die Änderungsrate der Population, Preisänderungen die Änderungsrate der Kosten oder Einnahmen, und die Veränderung der CO2-Konzentration ist eine Änderungsrate der Luftqualität.

Messung und Berechnung: Aus Messdaten erhält man häufig nur Δy/Δt über diskrete Intervallgrenzen; hierfür verwendet man Finite-Differenzen. Die Ableitung erfordert eine Glättung oder Regulierung, besonders bei rauschenden Daten.

Zusammengefasst bezeichnet Änderungsrate die Geschwindigkeit, mit der sich Größen ändern, und verbindet qualitative Aussagen mit mathematischen Größen wie Ableitungen und Differenzen.