Intervallgrenzen

Intervallgrenzen sind die Zahlen, die ein Intervall auf der reellen Zahlenlinie begrenzen. Sie bestimmen, welche Werte zum Intervall gehören und wie weit es sich erstreckt. Ein Intervall wird üblicherweise durch zwei Endpunkte a und b beschrieben, wobei gilt, dass a ≤ b. Sind a < b, ist das Intervall nicht leer; bei a = b entsteht ein einzelner Punkt, und bei a > b ist das Intervall leer.

Es gibt verschiedene Typen von Intervallen, abhängig davon, ob die Endpunkte eingeschlossen werden oder nicht. Ein offenes Intervall (a,b) schließt die Endpunkte aus. Ein geschlossenes Intervall [a,b] schließt beide Endpunkte ein. Halboffene Intervalle sind [a,b) oder (a,b], wobei jeweils nur einer der Endpunkte enthalten ist. Endpunkte können auch ungleich oder gleich sein; bei a = b ergibt ein geschlossenes Intervall [a,a] den einzelnen Punkt {a} und ein offenes Intervall (a,a) ist leer.

Unbegrenzte Intervalle haben als Endpunkte unendliche Grenzen. Beispiele sind (a, ∞), [a, ∞), (−∞, b], (−∞, b) und das gesamte reelle Linie (-∞, ∞). Hier ist ∞ kein echter Endpunkt, sondern eine Angabe der Unbeschränktheit.

Linke Grenze und rechte Grenze bezeichnen die zwei Endpunkte eines Intervalls, wenn diese endlich sind. Die Randpunkte eines Intervalls sind relevant für Konzepte in der Analysis und Topologie, wie Grenzwerte, Rand- und Innenpunkte sowie Abschluss- und Randflächen.

Intervallgrenzen werden in der Intervallnotation verwendet, um Bereiche zu definieren, deren Eigenschaften sich auf die Zugehörigkeit von Punkten zum Intervall stützen, etwa bei Funktionen, Integralen oder Beschränktheiten.