Unbeschränktheit

Unbeschränktheit bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft, dass eine Größe keine feste Ober- oder Untergrenze hat. In normierten Räumen bedeutet dies, dass die Norm der Elemente einer Menge beliebig groß werden kann. Eine Funktion ist unbeschränkt, wenn ihr Wertebereich nicht beschränkt ist; d. h. für jedes M > 0 gibt es ein Argument, für das |f(x)| > M. Man spricht von unbeschränkt nach oben, unbeschränkt nach unten oder einfach unbeschränkt, je nachdem, in welche Richtung das Wachstum geht.

Eine Teilmenge A eines metrischen oder normierten Raums ist unbeschränkt, wenn zu jeder positiven Zahl M ein Element a in A existiert mit Norm(a) > M. Eine Menge, die in irgendeiner Richtung unbegrenzt wächst, ist somit unbeschränkt. Ist eine Menge in eine abgeschlossene beschränkte Menge eingeschlossen, ist sie beschränkt; eine unbeschränkte Menge kann daher niemals kompakt sein in endlichen Räumen.

Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen N ist in R unbeschränkt. Die Funktion f(x) = x ist unbeschränkt auf ganz R (unbeschränkt nach oben und unten). Die Funktion sin x ist dagegen beschränkt, da |sin x| ≤ 1 für alle x. Eine Folge (a_n) ist unbeschränkt, wenn für jedes M > 0 ein Index n existiert mit |a_n| > M.

Bedeutung: Unbeschränktheit ist ein zentrales Konzept in der Analysis und Topologie. Sie hilft, das Verhalten von Funktionen am Rand des Definitions- oder Definitionsbereichs zu verstehen, beeinflusst Konvergenzfragen bei Reihen und Integralen und grenzt Eigenschaften wie Kompaktheit ein.