Linearität

Linearität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung oder eines Systems, Addition und Skalierung zu erhalten. Formal bedeutet das: Eine Abbildung f von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W ist linear, wenn für alle Vektoren x, y in V und alle Skalare a, b gilt f(a x + b y) = a f(x) + b f(y). In vielen Fällen genügt es zu prüfen, dass f(x+y) = f(x) + f(y) und f(a x) = a f(x) für alle x und alle Skalare a. Aus Linearität folgt insbesondere f(0) = 0.

Lineare Abbildungen lassen sich häufig durch Matrizen darstellen: Eine Matrix A definiert eine lineare Abbildung x → A x von einem Vektorraum in einen anderen. Typische Beispiele sind lineare Funktionen der Form f(x) = m x über den reellen Zahlen oder Abbildungen zwischen Vektorräumen durch Matrizen. In der Analysis begegnet man linear operierenden Ausdrücken wie linearen Differentialoperatoren.

Wichtige Eigenschaften linearer Systeme sind das Superpositionsprinzip und die Bildung von Lösungsräumen. Die Summe von Lösungen einer linearen Gleichung oder eines linearen Systems ist ebenfalls eine Lösung, und die Menge der Lösungen bildet einen Vektorraum. Lineare Abbildungen erhalten durch Komposition wieder Linearität; auch die lineare Approximation, beispielsweise durch die Ableitung, nutzt dieses Prinzip.

Anwendungsbereiche finden sich in Mathematik, Physik, Ingenieurwesen, Informatik, Ökonomie und Statistik. In der Praxis verwenden Modelle oft lineare Annäherungen, etwa bei der linearen Regression oder der Analyse linearer zeitinvarianter Systeme. Nichtlinearität liegt vor, wenn Additivität oder Homogenität verletzt werden; häufig führt eine lokale Linearisierung zu brauchbaren Näherungen.