Eindigelementen

Eindigelementen is een numerieke methode voor de oplossing van continue veldproblemen, waarbij een continu gebied wordt opgedeeld in een beperkt aantal elementen (een mesh). Binnen elk element wordt het onbekende veld benaderd door interpolerende functies die zijn gedefinieerd op de knooppunten van het element. Door de regionale oplossingen te koppelen via randvoorwaarden levert dit een discrete systeem van vergelijkingen op, meestal een grote sparse lineaire of niet-lineaire structuur, die met computers kan worden opgelost. De methode leunt op variatie- of Galerkin-formuleringen en op het idee van een functionele ruimte waarin het oplossingsfveld wordt gemeten.

Elementtypen bestrijken meerdere dimensionale niveaus. In 1D zijn er staaf- elementen, in 2D driehoekige en vierhoekige elementen, en in 3D tetraëders en hexaëders. Binnen elk type kan men lineaire of hogere orde interpolatiefuncties gebruiken (bijv. Lagrange-polynomen). De keuze van het type en de orde beïnvloeden nauwkeurigheid, stabiliteit en rekentechnische kosten.

Proces en opzet. Het werkproces omvat: geometry en materiaaleigenschappen vastleggen; meshgeneratie; selectie van elementtype en interpolatieniveau; formulering van de zwakke (variatie) vorm; assemblage van globale stijfheids- en mogelijk massa- of vermogenskernels; toepassing van randvoorwaarden en initiële condities; oplossen en post-processing van resultaten zoals spanningen, snelheden of temperatuur.

Toepassingen en concepten. Eindigelementen worden breed toegepast in structurele analyse, warmtegeleiding, vloeistofmechanica en elektromagnetisme, evenals in geotechniek en biomedische simulaties. Kernbegrippen zijn meshkwaliteit, convergentie bij meshvernieuwing (h-, p- of hp-refinement) en foutenschatting om adaptieve meshverfijning mogelijk te maken. De methode ontstond in de jaren 1950–1960 in de context van structurele analyse en is sindsdien uitgegroeid tot een algemene benadering voor vele partial-differentiale equation-problemen.