Afstandsbehoud

Afstandsbehoud is een eigenschap van een kaart of transformatie tussen metrische ruimten waarbij de afstand tussen elk paar punten behouden blijft. Als X met de afstandsfunctie d_X en Y met de afstandsfunctie d_Y metrische ruimten zijn en f: X → Y een kaart, dan betekent afstandsbehoud dat voor alle a en b in X geldt d_Y(f(a), f(b)) = d_X(a, b). Een kaart met deze eigenschap wordt in de wiskunde gewoonlijk een isometrie genoemd.

Voorbeelden in de Euclidische ruimte: vertaling f(x) = x + v; rotatie f(x) = R x; spiegeling. Al deze transformaties zijn isometrieën en behouden dus afstand (en in zekere zin vorm en structuur). Combinaties daarvan blijven eveneens afstandsbehoudend. Een transformatie zoals schalen f(x) = c x (met c ≠ 1) behoudt geen afstand, omdat d_Y(f(x), f(y)) = c d_X(x, y).

Eigenschappen: Isometries zijn injectief en behouden daarmee ook lijnen en hoeken in zekere mate; ze vormen onder samenstelling een groep, de isometriegroep van X. In Euclidische ruimten geldt dat afstandbehoudende kaarten vaak samenhangen met rigide vergrotingen, rotaties en/of reflecties, eventueel gecombineerd met translatie.

Generalisaties en toepassingen: Het concept geldt voor kaarten tussen algemene metric spaces en wordt toegepast in computergraphics, robotica, cartografie en geometrische modellering. Afstandsbehoud biedt een manier om objecten en waargenomen vormen te vergelijken zonder vervorming van de onderliggende afstandsrelaties.