vervangingsaxioma

Vervangingsaxioma, ook wel het Axiom van vervanging genoemd, is een axiom uit de verzamelingenleer zoals die in de Zermelo–Fraenkel-settheorie (ZF) wordt gebruikt. Het stelt dat het beeld van een verzameling onder een definieerbare functie weer een verzameling is. In feite waarborgt het dat als je voor elk element van een gegeven verzameling A een uniek y kunt bepalen via een formule φ(x,y), dan de verzameling van al die y’s ook bestaat.

Formeel kan worden gezegd: laat φ(x,y) een formule zijn met parameters. Als voor elk x ∈ A er precies één y bestaat met φ(x,y), dan bestaat er een verzameling B = { y : ∃ x ∈ A φ(x,y) }. Deze verzameling B bestaat onafhankelijk van de keuze van de representatie van de functie en definieert de image van A onder de (definieerbare) functie die φ beschrijft.

Consequence en gebruik: het axiom zorgt ervoor dat constructies die door toepassing van definieerbare regels op alle elementen van een verzameling worden gevormd, ook als verzamelingen bestaan. Dit maakt het bijvoorbeeld mogelijk om sets te vormen zoals de verzameling van alle opvolgers van elementen uit een gegeven verzameling, of meer generiek, om transfinite recursie en definities langs ordinaalindices te rechtvaardigen. Replacement is essentieel voor de bouw van grotere verzamelingen die ontstaan door functies op verzamelingen, en het maakt deel uit van de standaard ZF-axiomatische basis (vaak samen met de andere axiomen zoals Unie, Krimp, Krachtenverzameling, oneindigheid en fundament).

Geschiedenis en verhouding: het axioma werd geïntroduceerd door Zermelo en verder uitgewerkt in het Fraenkel–Levy-zetting die tot ZF leidde. Het is niet afgeleid uit de overige Zermelo-axioma’s en versterkt wat men met verzamelingen kan bouwen door definieerbare functies op verzamelingen toe te passen.