transformatieeigenschappen

Transformatie-eigenschappen zijn kenmerken van een transformatie die aangeven hoe een object verandert onder die transformatie en welke structuur daarbij behouden blijft. Ze komen voor in de wiskunde, met nadruk op geometrie en lineaire algebra, en helpen bij het classificeren van hoe vormen, afstanden en hoeken veranderen of bewaard blijven.

Geometrische transformaties worden vaak ingedeeld naar de mate waarin ze afstand en hoek bewaren. Rigid motions, zoals vertaling, rotatie en spiegeling, behouden afstanden en hoeken, hoewel bij spiegeling de oriëntatie kan veranderen. Similariteits-transformaties bewaren de vorm (hoeken blijven gelijk) maar kunnen alle lengtes uniform schalen. Affine transformaties behouden parallelismen en lineaire relaties, maar niet noodzakelijk afstanden of hoeken. Projectieve transformaties bewaren collineariteit en projectieve verhoudingen, maar kunnen afstanden en hoeken sterk vervormen.

Algebraïsche transformaties omvatten lineaire transformaties. Een lineaire transformatie voldoet aan f(x+y)=f(x)+f(y) en f(a x)=a f(x) en kan worden weergegeven door een matrix. Ze hebben een inverse als de transformatiematrix invertibel is. In het algemeen bewaren lineaire transformaties de oorsprong en lineaire relaties tussen vectoren.

Invarianties en structuur: Bij isometrieën blijven afstanden en hoeken intact; determinant van een lineaire transformatie geeft de schaal van gebiedsmetingen in de ruimte en kan orientatie veranderen bij negative determinant. Projectieve transformaties behouden collineariteit maar niet noodzakelijke afstanden of hoeken.

Compositie en identiteit: De combinatie van twee transformaties levert een nieuwe transformatie op; de operatie is associatief en er bestaat een identiteits-transformatie die elk object ongewijzigd laat.

Voorbeelden: Rotatie, Translatie, Spiegeling en Schaling (dilatatie) zijn gangbare transformatie-eigenschappen. Toepassingen bevinden zich in computergraphics, cartografie, GIS, robotica en beeldverwerking.