standaardverdeling

De standaardverdeling, ook wel de standaardnormale verdeling genoemd, is een speciale normalverdeling met een verwachting van nul en een standaarddeviatie van één. Een variabele Z die volgens N(0,1) verdeeld is, wordt beschreven door de kansdichtheidsfunctie f(z) = (1/√(2π)) exp(-z²/2). De bijbehorende cumulatieve distributiefunctie is Φ(z) = ∫_{-∞}^{z} f(t) dt.

Eigenschappen van de standaardnormale verdeling zijn onder meer symmetrie rond z = 0 en unieke piek op die plek. De verspreiding is mm, met E[Z] = 0 en Var(Z) = 1. Het domein is onbegrensd en de staarten blijven niet aangekondigd, maar de kans op extreme waarden wordt steeds kleiner. De exacte waarde van Φ(z) heeft geen eenvoudige uitdrukking in elementaire functies, waardoor tabellen of numerieke berekeningen via de erf-functie vaak worden gebruikt.

Standaardisatie is een kernconcept: als X normaal verdeeld is met parameters μ en σ², kan Z = (X − μ)/σ worden gebruikt, waarna Z ~ N(0,1). Dit stelt men toe om probabilities te berekenen met behulp van standaardnormale tabellen of software, onafhankelijk van de oorspronkelijke parameters.

Toepassingen omvatten onder meer statistische toetsen en betrouwbaarheidsberekeningen. De z-verdeling dient als referentievoorwaarde bij veel analyses met normaal verdeelde gegevens. Een gangbare vuistregel is de 68-95-99,7-regel: ongeveer 68% van de waarnemingen ligt binnen |z| ≤ 1, ongeveer 95% binnen |z| ≤ 2, en ongeveer 99,7% binnen |z| ≤ 3.