sequenties

Sequenties is een wiskundig begrip voor een volgorde van objecten die een index n krijgen uit de natuurlijke getallen. In de meeste gevallen betreft het een rij getallen a1, a2, a3, … met de notatie (a_n)_{n∈N}. Een sequentie kan eindig of oneindig zijn; in de wiskunde ligt de focus meestal op oneindige sequenties. Bij een sequentie wordt vaak gesproken van de term op positie n, of van de n-de term.

Veel voorkomende typen zijn onder meer rekenkundige en meetkundige sequenties. Een rekenkundige sequentie heeft een constant verschil d tussen opeenvolgende termen: a_n = a_1 + (n−1)d. Een meetkundige sequentie heeft een constant ratio r tussen opeenvolgende termen: a_n = a_1 r^{n−1}. Ook kunnen termen via een recursieve relatie gedefinieerd worden, bijvoorbeeld a_n afhankelijk van eerdere termen.

Een centraal onderwerp in de bestudering van sequenties is limiet en convergentie. Een sequentie convergentieert naar een getal L als voor elke ε>0 er een N bestaat met de eigenschap dat |a_n − L| < ε wanneer n ≥ N. Als zo’n L niet bestaat, spreekt men van divergentie. Eigenschappen zoals monotone toeneming of afneming en gebondenheid geven aanwijzingen voor convergentie in de restklasse van de getallen.

Daarnaast bestaan er subsequenties: een subsequente sequentie wordt gevormd door termen op indices die streng toenemen. Een bekend resultaat in de analyse stelt dat iedere gebonden sequentie in R een convergente subsequente heeft (Bolzano-Weierstrass).

Tot slot kunnen sequenties van functies bestaan, met onderscheiden tussen puntgewijze en uniforme convergentie. Sequenties onderscheiden zich van series: een serie is de som van de termen van een sequentie, en de convergentie van een serie gaat over de somrather.