sequentie

In de wiskunde is een sequentie een opeenvolging van elementen uit een verzameling, meestal de reële getallen. Een sequentie wordt vaak genoteerd als (a_n)_{n∈N}, waarbij elk a_n een element van de verzameling X is. Sequenties geven een volgorde aan en laten toe te praten over limieten en veranderingen naarmate de index n groeit.

Sequenties kunnen eindig of oneindig zijn. Een oneindige sequentie is een functie van natuurlijke getallen naar X; een eindige sequentie heeft een eindige lengte. In veel wiskundige context wordt een oneindige sequentie beschouwd als een rij van getallen die naar een bepaalde waarde kan toenemen of afnemen.

Een oneindige sequentie (a_n) convergeert naar een getal L ∈ X (de limiet) als voor elke ε>0 bestaat er een N zodanig dat ∀n≥N geldt: |a_n - L| < ε. De limiet, indien die bestaat, is uniek. Een sequentie die convergeert, wordt convergent genoemd; anders is ze divergent.

Een subsequentie is een sequentie gevormd door de termen op hogere indexen: (a_{n_k}) met n_1 < n_2 < ... Als (a_n) convergeert naar L, dan convergeert elke subsequentie naar L.

Eigenschappen: als (a_n) → L en (b_n) → M, dan (a_n + b_n) → L+M en (α a_n) → α L. Als b_n ≠ 0 voor grote n, dan (a_n / b_n) → L/M. Elke gebonden en monotone sequentie convergeert; volgens Bolzano–Weierstrass bestaat in R^n elke gebonden sequentie een convergente subvolgorde.

Voorbeelden: a_n = 1/n gaat naar 0. a_n = (-1)^n heeft geen limiet; subsequenties ervan kunnen naar 1 of -1 leiden. Een sequentie zoals sin(n) convergeert niet.

Toepassingen: sequenties vormen de basis van analyse, limietprocessen en reeksstudies, en spelen ook een rol in tijdreeksen, signaalverwerking en numerieke methoden.