overgangsfunctie

Overgangsfunctie, in de wiskunde ook wel transition function genoemd, beschrijft hoe twee lokale representaties van hetzelfde object aan elkaar kunnen worden gelegd wanneer men van het ene gebied naar het andere gaat. Ze maken het mogelijk om lokaal bekende beschrijvingen samen te voegen tot een globale structuur.

In de context van differentiaalmeetkunde heeft men vaak te maken met een differentiable manifold en een atlas. Een atlas bestaat uit meerdere kaartparen (U_i, φ_i), waarbij U_i een open subset van de variëteit is en φ_i een kaart naar R^n. Voor snijpunten U_i ∩ U_j ≠ ∅ is de overgangsfunctie t_{ij} = φ_i ∘ φ_j^{-1} een kaart tussen de corresponderende open delen van R^n. Als de variëteit een C^k-structuur heeft, moeten alle overgangsfuncties t_{ij} C^k-zij zijn. Opdrukkingen op drievoudige overlappen leveren een cocycle-voorwaarde: t_{ik} = t_{ij} ∘ t_{jk} op de overlap van drie kaartgebieden. Deze voorwaarden zorgen ervoor dat de lokale beschrijvingen samen een consistente globale structuur vormen.

Naast differentiable manifolds spelen overgangsfuncties ook een rol bij vector- en hoofdverbonden. Daar bepalen ze hoe lokale trivializations op overlappende gebieden veranderen van de ene trivialisatie naar de andere, met waarden in een groep G. Ook hier geldt een cocycle-voorwaarde op driedubbele overlappen, wat bijdraagt aan de classificatie van bundles.

Een bekend voorbeeld is het tweekoemige atlas van de bol S^2 met stereografische projecten vanuit tegengestelde poolpunten; de overgangsfunctie tussen deze twee charts is een glad diffeomorfisme gedefinieerd op het overlappende gebied. Overgangsfuncties vormen daarmee een fundamenteel uitgangspunt bij het gluing-proces van lokale data tot globale objecten.