lagrangianen

Een lagrangian is in de klassieke en veldtheorie een functie L(q, q̇, t) die de dynamica van een systeem beschrijft. De variabelen q vertegenwoordigen generaliseerde coördinaten, q̇ zijn de tijdsafgeleiden, en t is tijd. De actie S[q] wordt gedefinieerd als de tijdintegral van L: S[q] = ∫ L(q, q̇, t) dt. Volgens het principe van de minste actie maakt het werkelijke pad tussen twee toestanden de actie stationair, δS = 0. De resulterende beweging volgt uit de Euler-Lagrange-vergelijkingen.

De Euler-Lagrange-vergelijking luidt: d/dt (∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0. Voor velden geldt een-equivalent waarin q en q̇ worden vervangen door veldvariabelen en hun ruimtelijke afgeleiden; deze formulering levert de veldvergelijkingen van de theorie.

Eigenschappen: lagrangianen kunnen worden aangepast door toevoeging van een totale tijdsdifferentiatie dF/dt zonder de bewegingsvergelijkingen te veranderen; hierdoor bestaan er equivalentre lagrangianen die dezelfde fysische beweging beschrijven. De beschrijving is coördinaatafhankelijk maar de onderliggende fysica blijft invariant. Via p = ∂L/∂q̇ en H = p q̇ − L volgt het Hamiltoniaanse formeel, waarmee men bewegingen in termen van kinetische en potentiële energie beschrijft en een brug slaat naar de Hamiltoniaanse mechanica.

Toepassingen: lagrangianen vormen de basis van zowel klassieke mechanica als veldtheorieën zoals elektromagnetisme en de velden die de deeltjesinteracties beschrijven. Voorbeelden van eenvoudige lagrangianen zijn L = (1/2) m q̇^2 voor een vrije deeltje en L = (1/2) m q̇^2 − (1/2) k q^2 voor een holle oscillator. Relatie met kwantummechanica wordt gezien in de pad-integral formulering, waarin de amplitudes worden uitgedrukt als een som over alle paden met gewicht e^{iS/ħ}.