inverteerbaar

Inverteerbaar is een wiskundige eigenschap die aangeeft dat een object een inverse heeft onder een bepaalde bewerking, oftewel dat er een ander object bestaat waarmee de combinatie de identiteit oplevert. De term wordt in verschillende takken van de wiskunde gebruikt, maar behoudt een gemeenschappelijk idee: er is een omkeerbaar tegenbewijs of omgekeerde stap.

In de lineaire algebra verwijst inverteerbaarheid meestal naar matrices. Een vierkante matrix A is inverteerbaar als er een matrix B bestaat zodat AB = BA = I, waarbij I de identiteitsmatrix is. Zo niet, dan wordt A niet-inverteerbaar genoemd. Een matrix is inverteerbaar precies wanneer de determinant niet nul is (det(A) ≠ 0), of wanneer de rang gelijk is aan de grootte van de matrix. Inverteerbare matrices vormen de general linear group GL(n, veld). De inverse van een inverteerbare matrix A wordt aangeduid als A⁻¹ en heeft eigenschappen zoals (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ en (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ.

In abstracte algebra wordt een element invertibel genoemd als er een multiplicatieve inverse bestaat: voor een eenheid e geldt dat a·a⁻¹ = a⁻¹·a = e. Niet-elmenten in een ring of algebrastructuur hoeven niet invertibel te zijn; bijvoorbeeld in de gehele getallen is alleen ±1 invertibel.

Ook functioneel kan invertibiliteit voorkomen. Een functie f van een verzameling X naar Y is invertibel als deze bijectief is, wat betekent dat er een inverse functie f⁻¹ bestaat van Y naar X. Bij invertibele functies volgt f⁻¹(f(x)) = x en f(f⁻¹(y)) = y.

Samengevat is inverteerbaarheid het bestaan van een inverse onder de relevante bewerking, met concrete criteria die per structuur verschillen.