hoekbehoud

Hoekbehoud is de eigenschap van een kaart of transformatie waarbij de hoeken tussen twee lijnen of krommen op elk punt behouden blijven. Een transformatie met hoekbehoud behoudt dus de lokale vorm van figuren, hoewel afstanden en soms de oriëntatie kunnen veranderen. Het begrip is vooral belangrijk in de studie van conformale kaarten en conformalisme.

Technisch gezien behoudt een differentieerbare kaart f tussen open gebieden een hoek wanneer de afgeleide bij elk punt p een veelvoud van een orthogonale matrix is. In twee dimensies betekent dit dat de Jacobiaan bij p de vorm Df(p) = λ(p) R(p) aanneemt, met λ(p) > 0 en R orthogonaal. In dat geval behoudt f lokaal hoeken (maar niet noodzakelijk lengtes). Conformiteit is sterk verwant aan dit concept: holomorfe functies met een niet-nul afgeleide zijn lokaal hoekbehoudend, waarna zij hoeken lokaal gelijk maken.

Voorbeelden van hoekbehoudende transformaties zijn Rotaties, Translatie(s), Spiegelingen en uniforme Schaling; combinaties daarvan blijven hoekbehoudend. Niet-hoekbehoudende transformaties omvatten onder meer shear-transformaties, die hoeken tussen lijnen kunnen vervormen.

Toepassingen van hoekbehoud komen vaak voor in cartografie (conforme kaartprojecties zoals Mercator behouden lokale hoeken, wat navigatie vergemakkelijkt), wiskunde en computergraphics (voor het vervormen van beelden terwijl lokale vormen behouden blijven). Conformale kaarten worden gewaardeerd omdat hoeken tussen geografische elementen behouden blijven, wat interpretatie vergemakkelijkt.

Zie ook: conformale kaart, conformiteit, isometrie, similariteit, holomorfe functies, Cauchy-Riemann.