dichtheidsfunctionaaltheorieën

Dichtheidsfunctie, meestal aangeduid als een probability density function (PDF), is een functie die de waarschijnlijkheid beschrijft dat een continue kansvariabele een bepaald bereik inneemt. Een dichtheidsfunctie f(x) is geen kans op een enkel punt, maar een niet-negatieve functie waarvan de integraal over het hele domein gelijk is aan 1: ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. De kans dat X in een interval [a, b] ligt, is ∫_a^b f(x) dx. De bijbehorende cumulatieve verdelingsfunctie is F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt, een niet afnemende functie met limieten F(-∞) = 0 en F(∞) = 1.

Een dichtheidsfunctie impliceert een verdeling via integratie. Verwachting en variantie worden gegeven door E[X] = ∫ x f(x) dx en Var(X) = ∫ x^2 f(x) dx − (E[X])^2, mits deze integralen bestaan. Bekende voorbeelden zijn de uniforme verdeling op [0,1], met f(x) = 1 voor 0 ≤ x ≤ 1 en 0 elders, en de standaardnormale verdeling met f(x) = (1/√(2π)) e^{−x^2/2}.

Verschil met discrete variabelen: voor discrete variabelen spreekt men van een massafunctie; dichtheidsfuncties beschrijven continu variabelen en kansen worden verkregen door te integreren in plaats van te evalueren op punten. Transformeren van variabelen volgt de veranderingsregel: als Y = g(X) met een inverse en voldoende glad g, dan f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) |d/dy g^{-1}(y)|, met aanpassing aan de ondersteuning. Dichtheidsfuncties bieden zo een formeel kader voor probabilistische modellering en statistische berekeningen.