kansvariabele

Kansvariabele is een fundamenteel begrip uit de kansrekening en statistiek. Een kansvariabele X is een meetbare functie van een kansruimte, X: Ω → ℝ, waarmee bij elke uitkomst ω uit het experimentele universum een numerieke waarde wordt toegekend. Hiermee verschuift de focus van de uitkomst zelf naar de bijbehorende numerieke maat.

Een kansvariabele kan discreet of continu zijn. Een discrete kansvariabele neemt slechts een telbaar aantal waarden aan, met een kansverdeling die vaak wordt weergegeven door een kansmassafunctie p_X(k) = P(X = k). Een continue kansvariabele heeft een continue waarderuimte en wordt beschreven door een kansdichtheidsfunctie f_X(x), waarbij P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx.

De verdeling van een kansvariabele kan ook worden samengevat met de cumulatieve kansfunctie F_X(x) = P(X ≤ x). Deze functie is niet-dalend, rechts-continu en gaat van 0 naar 1 wanneer x van -∞ naar +∞ loopt.

Belangrijke statistische eigenschappen zijn de verwachting en de spreiding. De verwachte waarde E[X] geeft het gemiddelde of lange-termijn vergelijking van X, en de variantie Var(X) = E[(X - E[X])^2] meet de spreiding. Voor discrete variabelen is E[X] = ∑ x P(X = x); voor continue variabelen is E[X] = ∫ x f_X(x) dx, onder juiste integrabiliteitsvoorwaarden.

Transformaties en meerdere variabelen zijn tevens kernaspecten. Als g meetbaar is, geldt Y = g(X) ook als kansvariabele. Een vector X = (X1,…,Xn) heeft een gezamenlijke verdeling; onafhankelijkheid en identiek verdeeld zijn belangrijke aannames in statistische modellering.

Veelvoorkomende voorbeelden zijn discrete: Binomiaal(n,p) en Poisson(λ); continue: Normaal(μ, σ^2), Uniform(a,b), Exponentieel(λ). Kansvariabelen vormen de brug tussen kansmodellen en statistische inferentie.