Toevalsvariabelen

Een toevalsvariabele (meervoud: toevalsvariabelen) is in de kansrekening een functie die elk mogelijk resultaat van een willekeurig experiment toewijst aan een getal. De variabele X is gedefinieerd op het steekproefruimte Ω en levert een numerieke waarde op die de uitkomst samenvat.

Er bestaan twee hoofdtypes: discrete toevalsvariabelen hebben een telbare waarde-ruimte, bijvoorbeeld het aantal koppen bij een reeks worpen. Continue toevalsvariabelen nemen waarden in een interval en zijn meestal ononderbroken, bijvoorbeeld meetfouten of lengtes. Sommige variabelen kunnen gecombineerde verdelingen hebben.

De kansverdeling van een toevalsvariabele beschrijft hoe waarschijnlijk elk mogelijke waarde is. Voor discrete variabelen is dit de kansmassafunctie p_X(x) = P(X = x). Voor continue variabelen is dit de kansdichtheidsfunctie f_X(x), met P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx. De cumulatieve verdelingsfunctie F_X(x) = P(X ≤ x) is voor alle X een niet-dalende, rechts-continue functie.

Belangrijke maatstaven zijn de verwachting E[X] (het gemiddelde) en de variatie Var(X) = E[(X - E[X])^2]. Lineaire eigenschappen gelden: E[aX + b] = aE[X] + b. Als twee toevalsvariabelen X en Y onafhankelijk zijn, geldt E[XY] = E[X]E[Y]. Samenhangende verdelingen laten zien hoe de variabelen samen voorkomen; marginale verdelingen beschrijven elk voor zich, en conditionele verdelingen beschrijven de verdeling van X gegeven Y.

Toepassingen omvatten modellering van onzekerheid, statistische inferentie en gegevensanalyse, waarbij toevalsvariabelen als basis dienen voor beschrijvende en inferentiële statistiek.