Machtsfunctie

Machtsfunctie is een wiskundige term voor een functie van de vorm f(x) = x^a, waarbij de exponent a een vast reëel getal is. De definitie en het domein hangen af van de waarde van a. Voor gehele getallen a is f gedefinieerd voor alle x in het echte getallen, terwijl bij niet-gehele exponenten de functie doorgaans alleen voor positieve x wordt beschouwd in het reële getallenmodel. In complexen kan de functie breder gedefinieerd worden.

Bij een veelvoorkomend onderscheid geldt: als a niet een geheel getal is, wordt f meestal gedefinieerd als x^a op het dommein x > 0. Als a rational is met een vreemd deel, kan in sommige gevallen ook op negatieve x x^a bestaan, maar dit vereist aanvullende definities. Een voorbeeld is f(x) = x^{1/2}, dat op reële input alleen voor x ≥ 0 bestaat.

De afgeleide op het domein x > 0 is f'(x) = a x^{a-1}. De functie is op dit domein oneindig vaak differentieerbaar voor elke reële a. Aan x=0 hangt differentiatie af van a: voor a > 1 bestaat de afgeleide aan de rechterkant en kan f'(0) = 0 zijn; voor a ≤ 1 is de afgeleide bij 0 meestal niet wel gedefinieerd.

Eigenschappen omvatten monotoniciteit en convexiteit: op x > 0 is f stijgend als a > 0 en dalend als a < 0. De tweedekwartsfunctie is f''(x) = a(a-1) x^{a-2}, waardoor f convex is voor a > 1 of a < 0 en concav voor 0 < a < 1. Controleerbare asymptotiek: bij a > 0 gaat f naar 0 bij x → 0+, en naar ∞ als x → ∞; bij a < 0 gaat f naar ∞ bij x → 0+ en naar 0 bij x → ∞.

Toepassingen variëren van eenvoudige polynomialniveaus (a ∈ N) tot modellering van schaalwetten en groeiprocessen in natuur- en gedragswetenschappen.