Krommenintersectie

Krommenintersectie is het verschijnsel waarbij twee krommen in het vlak elkaar kruisen. In de wiskunde spreken we van krommen als meetkundige objecten die lokaal een kromme vorm hebben, vaak beschreven door een impliciete vergelijking f(x, y) = 0 of door een parametrisatie x(t), y(t). De krommen snijden elkaar in precies die punten waar de definities tegelijkertijd gelden, oftewel de oplossingen van het systeem f1(x, y) = 0 en f2(x, y) = 0.

Een eenvoudige introductie kan worden geïllustreerd met voorbeelden. Voor twee krommen met f(x, y) = 0 en g(x, y) = 0 bestaan de snijpunten uit alle (x, y) die aan beide voorwaarden voldoen. Als de krommen gemeenschappelijke delen hebben, kunnen er oneindig veel snijpunten bestaan (bijvoorbeeld twee identieke krommen). Als ze elkaar raken op één punt, spreken we van een tangente snijpunt. Moderne meetkundige problemen houden vaak rekening met snijpunten met multipliciteit en met complex geconjugeerde oplossingen, vooral in algebraïsche context.

Oplossen van krommenintersectie gebeurt door het oplossen van een systeem van vergelijkingen. Mogelijke benaderingen zijn substitutie, eliminatie of het gebruik van resultaatanten en Groebner-bases in het algebraïsche kader. Voor numerieke berekeningen kunnen methoden zoals Newton-Raphson voor systemen of homotopie-continuatie worden gebruikt. Bij eenvoudige gevallen, zoals een lijn en een cirkel, is het vaak mogelijk de exacte snijpunten af te leiden; bij een lijn y = mx + b en een cirkel (x − a)² + (y − c)² = r² volgt uit substitution het kwadratische vergelijking met meestal twee oplossingen.

Toepassingen van krommenintersectie komen voor in computer graphics, CAD, robotica en ontwerptaken waarbij men de exacte of benaderde ontmoetingspunten tussen vormen nodig heeft.