Hyperfunctie

Hyperfunctie is een concept uit de functionaalanalyse dat een moderne generalisatie van functies en distributies biedt. In de één- en multi-dimensionale setting worden hyperfuncties vooral gezien als grenswaarden van holomorfe functies in buurten van een reëel domein, wat hen geschikt maakt om analytische fenomenen bij grenzen en singulariteiten te beschrijven.

Definitie: laat U een open subset van de reële ruimte R^n zijn. Een hyperfunctie op U wordt (in eenvoudige termen) voorgesteld door een paar holomorfe functies F+ en F− die bestaan in buurten van U in de complexe ruimte C^n, respectievelijk vanuit de boven- en onderzijde van U. Het hyperfunctie-object wordt geïnterpreteerd als de grenswaarde van deze holomorfe functies wanneer men langs U nadert vanuit de twee zijden. Distributies kunnen als specifieke gevallen in deze theorie worden opgenomen, zodat hyperfuncties een ruimere klasse vormen.

Eigenschappen: de verzameling van hyperfuncties op U vormt een rand-sheaf, wat lokale coherentie en glueing mogelijk maakt. Differentiatie werkt gewoonlijk orde van grootte zoals bij gewone functies, waardoor partiële afgeleiden van hyperfuncties eveneens hyperfuncties zijn. Multiplicatie door analytische functies kan doorgaans plaatsvinden, terwijl de exacte definities van meer algemene productoperaties subtieler zijn.

Toepassingen: hyperfuncties spelen een belangrijke rol in de theorie van partiële differentiaalvergelijkingen en in microlokale analyse, waar grenswaarden en singulariteiten beter kunnen worden beheerd dan met gewone distributies. Ze bieden een robuust kader voor grenswaardeproblemen en voor de studie van analytische eigenschappen van oplossingen.

Zie ook: Distributies, Analytische functies, Sato, Hörmander, Mikusinski.