Getallenruimte

Getallenruimte is een wiskundig begrip dat de verzameling of verzamelingen van getallen beschrijft die als zodanig samen een getallenruimte vormen. Het is geen enkelvoudige entiteit, maar een generieke term voor systemen van getallen met een gewenste combinatie van bewerkingen, orde en soms topologie. In dit kader kan een getallenruimte bestaan uit een enkel getallenstelsel of uit meerdere verweven niveaus die elkaar uitbreiden.

De belangrijkste getallenruimtes zijn de natuurlijke getallen N, de gehele getallen Z, de rationale getallen Q, de reële getallen R en de complexe getallen C. N bevat de niet-negatieve gehele getallen (meestal met 0), Z omvat alle gehele getallen, en Q bestaat uit alle breuken a/b met a en b in Z en b ≠ 0. De reële getallen R vullen de getallenlijn en bevatten alle limieten van Cauchy-sequenties; de complexe getallen C bestaan uit paren (a, b) met a en b in R en vormen een veld dat R uitbreidt met een imaginair eenheidselement i, met i² = -1. Q is ordelijk en dicht in R maar is niet volledig; R is volledig en heeft een natuurlijke topologie; C is algebraïsch gesloten en wordt beschouwd als een 2-dimensionale vectorruimte over R.

Naast deze klassieke ruimten bestaan er andere getallenruimtes, zoals p-adische getallen, hyperreële getallen en surrealistische getallen, die elk verschillende structurele eigenschappen en toepassingen hebben in analyse, algebra en logica. Getallenruimtes vormen de basis voor veel wiskundige theorieën en praktische modellen.

Zie ook: getal, getaltheorie, vectorruimte, veld, topologie.