Dichtheidsoperatoren

Dichtheidsoperatoren, ook wel density operators genoemd, vormen een wiskundige formulering die wordt gebruikt in quantum mechanics en quantum information om de statistische toestand van een kwantumsysteem te beschrijven. Op een Hilbertruimte H beschrijft een dichtheidsoperator ρ een toestand die zowel pure als gemengde staten kan omvatten. Een dichtheidsoperator is positief semidefinit, behoort tot de trace-klasse en heeft trace gelijk aan 1.

Een belangrijke eigenschap is dat ρ kan worden geschreven als een spectrale decompositie ρ = ∑ i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i| met p_i ≥ 0 en ∑ i p_i = 1. Als er slechts één niet-nul p_i is, is de toestand puur en geldt ρ = |ψ⟩⟨ψ|. In het algemeen representeert ρ een mengsel van pure toestanden, wat de statistische onzekerheid in de toestand vastlegt.

Verwachtingswaarden worden berekend met Tr(ρ A), waarbij A een waarnemer (zelf-adjooint operator) is. Voor bipartite systemen H = H_A ⊗ H_B is de gemeten toestand van subsystem A gegeven door de gedeeltelijke trace ρ_A = Tr_B(ρ). Hiermee kan men correlaties tussen subsystemen bestuderen.

Dichtheidsoperatoren evolueren volgens de regels van de quantum dynamica: een gesloten systeem evolueert unitair, ρ → U ρ U†. Voor open systemen gelden volledig positieve trace-vernietigende (CPTP) maps, meestal uitgedrukt in Kraus-representatie ρ' = ∑_k E_k ρ E_k† met ∑_k E_k† E_k = I.

Zuiverheid wordt bepaald door Tr(ρ^2): ρ is puur als Tr(ρ^2) = 1, anders is het gemengd. Een veelgebruikt voorbeeld voor een qubit is ρ = (I + r·σ)/2 met Bloch-vecotor r en |r| ≤ 1. Dichtheidsoperatoren vormen zo de kern van het moderne formeel voor kwantentoestanden en hun evolutie.