dichtheidsoperator

Een dichtheidsoperator ρ is een lineaire operator op een Hilbertruimte H die voldoet aan ρ ≥ 0 en Tr(ρ) = 1. Ze beschrijft de toestand van een kwantumsysteem en kan zowel een zuivere toestand als een gemengde toestand representeren.

Zuivere en gemengde toestanden: Voor een zuivere toestand geldt ρ = |ψ⟩⟨ψ| en Tr(ρ^2) = 1. Een gemengde toestand is een statistische ensemble ρ = ∑_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i| met p_i ≥ 0 en ∑_i p_i = 1. De eigenwaarden van ρ zijn niet-negatief en sommen op tot 1; Tr(ρ^2) ligt daarbij tussen 1/d en 1, afhankelijk van de dimensie d van de Hilbertruimte.

Verwachtingswaarden en waarnemingen: De verwachting van een waarnemer A wordt gegeven door ⟨A⟩ = Tr(ρ A). De kans op meetresultaten kan via projectoreresten berekend worden, en een meting projecteert de toestand volgens de projectiepostulaat.

Dynamica en open systemen: In een gesloten systeem volgt de dichtheidsoperator de von Neumann-vergelijking dρ/dt = -(i/ħ)[H, ρ]. Voor open systemen is de evolutie vaak mastervergelijking in Lindblad-vorm: dρ/dt = -(i/ħ)[H, ρ] + D[ρ], waarbij D[ρ] een dissipatieve bijdrage bevat die decoherence en verlies van coherente informatie beschrijft.

Toepassingen: De dichtheidsoperator biedt een uniforme beschrijving van zowel pure als gemengde toestanden, maakt partiële tracing van subsystemen mogelijk (ρ_A = Tr_B ρ_AB), en wordt veel gebruikt in kwantuminformatie, quantumoptica, statistische mechanica en de beschrijving van decoherence en open-systeemdynamica.