Derivaat

Derivaat is een wiskundig concept uit de calculus dat de snelheid beschrijft waarmee een functie verandert met betrekking tot een variabele. In veel bronnen wordt het begrip derivaat als synoniem voor de afgeleide gebruikt, hoewel afgeleide in het Nederlands vaker voorkomt. Het concept is fundamenteel voor analyse van functies in één variabele en kan ook worden uitgebreid naar meerdere variabelen.

Definitie en notatie. Voor een functie f gedefinieerd op een open interval is de afgeleide bij x gedefinieerd als f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h, mits de limiet bestaat. Het kan ook worden geschreven als df/dx of Df(x). In meervoudige variabele calculus spreekt men van partiële afgeleiden zoals ∂f/∂x_i.

Interpretatie. De afgeleide geeft de helling van de raaklijn aan de grafiek y = f(x) in het punt x en is de eerste-orde benadering van f nabij x: f(x+h) ≈ f(x) + f'(x) h. Geometrisch ziet men het als de richtings-snelheid waarmee de functiewaarde verandert.

Basisregels en voorbeelden. Belangrijke regels zijn de somregel, productregel en kettingregel. Voor standaard functies gelden onder andere d/dx x^n = n x^{n-1}, d/dx e^x = e^x, en d/dx sin x = cos x. In meervoudige variabelen bestaan ook partiële afgeleiden en gradienten. Higher-order afgeleiden zoals f''(x) = d^2 f/dx^2 beschrijven verandering van de afgeleide zelf.

Toepassingen. Derivaten worden gebruikt in natuurkunde om snelheid en versnelling te modelleren, in economie voor marginale hoeveelheden, en in wiskundige optimalisatie en numerieke methoden zoals Newton-Raphson. Differentiatie vormt een basisinstrument bij het analyseren van functies en modellen.