Aritmetiek

Arithmetiek is het deel van de wiskunde dat zich bezighoudt met getallen en met de bewerkingen daarop. De basale bewerkingen zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Ook machten en wortels behoren tot de fundamentele bewerkingen, evenals modulo-aritmetiek in getallenresten. In aritmetiek worden getallen beschreven binnen verschillende verzamelingen, zoals natuurlijke getallen, gehele getallen, rationale getallen, reële getallen en complexe getallen. De regels voor de bewerkingen volgen vaste eigenschappen: optelling en vermenigvuldiging zijn commutatief en associatief; vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van optellen. Delen is de inverse bewerking van vermenigvuldigen, behalve delen door nul.

Bovendien kent aritmetiek procedures zoals de lange deling en algoritmes voor machten, wortels en het bepalen van de grootste gemene deler via het Euclidische algoritme. De ontwikkeling van decimale notatie en andere numeratiesystemen speelde een cruciale rol in de praktische toepassing van aritmetiek.

Historisch gezien ontstond aritmetiek uit tellen en eenvoudige bewerkingen in oude beschavingen; de notatie en rekenregels ontwikkelden zich verder in de klassieke oudheid en middeleeuwen, met belangrijke bijdragen uit India, de Arabische wereld en later Europa. De formele uitleg van getallen en bewerkingen kreeg vorm door axiomasystemen, zoals de Peano-axioma’s voor natuurlijke getallen.

Toepassingen van aritmetiek zijn alomtegenwoordig: dagelijks rekenen, meten, educatieve contexten en in de computerwetenschap en cryptografie. Aritmetiek vormt de basis voor algebra en getaltheorie en fungeert als fundamenteel gereedschap voor verdere wiskundige theorieën.