zelfdoorsnijding

Zelfdoorsnijding is een wiskundig fenomeen waarbij een object zichzelf kruist of door zichzelf heen gaat. In de context van krommen betekent dit dat er twee verschillende parameterwaarden t1 en t2 bestaan waarvoor een parametrisering gamma(t) dezelfde punt in de ruimte oplevert, dus gamma(t1) = gamma(t2) met t1 ≠ t2. Het woord kan ook voorkomen bij oppervlakken of ruimtelijke figuren die in projectie of in de eigen structuur zelfcontact hebben.

Bij een plane kromme ontstaat een zelfdoorsnijding wanneer de kromme op twee verschillende tijdstippen naar hetzelfde punt loopt. Als de raaklijnen bij de twee ontmoetingspunten niet parallel zijn, spreken wiskundigen van een transversale zelfdoorsnijding, wat meestal resulteert in een duidelijke kruising. Als de raaklijnen parallel zijn of als de contactorde hoger is, spreekt men van een singulariteit zoals een knoop (double point) of een andere hogere orde contactpunt; dit soort punten worden vaak beter onderzocht via normalisatie en ontleding van de kromme.

In algebraïsche geometrie en topologie is het begrip zelfdoorsnijding ook relevant op een oppervlak waar een kromme C een zelfdoorsnijdinggetal C^2 heeft, dat de mate van wederzijdse kruising van C met zichzelf meet. Deze concepten spelen een rol in intersectietheorie, de studie van singulariteiten en de normalisatie van krommen.

Voorbeelden zijn onder meer het figuur acht, een plane kromme met een duidelijke zelfdoorsnijding in het midden, en projecties van gesloten lussen waarbij de draad zichzelf kruist zonder echte breuk. Zelfdoorsnijding helpt bij het begrijpen van de topologische en algebraïsche eigenschappen van krommen en gerelateerde objecten.