wortelvindmethoden

Wortelvindmethoden zijn numerieke algoritmen voor het vinden van oplossingen van de vergelijking f(x) = 0, waarbij f een functie is die vaak op een interval gedefinieerd is. Het doel is een waarde x* te vinden waarvoor f(x*) = 0, of in sommige gevallen een zodanige waarde zo dicht mogelijk bij nul dat aan de gewenste toleranties voldoet.

Basisindelingen: er bestaan bracketing-methoden en open methoden. Bracketing-methoden werken door een interval [a,b] te zoeken waarin f(a) en f(b) van signaal wijzigen, waarna het interval wordt gehalveerd of op een andere manier verkleind. Ze zijn robuust en garanderen converge, mits een wortel in het interval bestaat. Open methoden vereisen geen signaalwisseling in een begininterval en kunnen sneller zijn, maar bieden geen garantie op convergentie.

Voorbeelden van veelgebruikte wortelvindmethoden zijn onder meer:

- Bisection (bisectie): robuuste, lineaire convergentie die het interval telkens in tweeën splitst totdat de gewenste nauwkeurigheid is bereikt.

- Newton-Raphson ( Newton-methode): snelle, vaak kwadratische convergentie via x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n); vereist differentiërbaarheid en een goede startwaarde, kan anders divergeren.

- Secant-methode: behoudt twee beginpunten en gebruikt een rechte die de wortel kruist; vereist geen afgeleide, maar convergentie is niet gegarandeerd.

- Fixed-point iteratie: herschikking f(x) = 0 naar x = g(x); convergentie vereist dat |g'(x*)| < 1 bij de wortel.

Robuuste hybride methoden zoals Brent’s methode combineren bracketing met interpolatie om betrouwbaarheid en snelheid te verbeteren. Praktische keuzes hangen af van de eigenschappen van f, beschikbaarheid van de afgeleide en de gewenste robuustheid versus snelheid. Stopcriteria omvatten doorgaans abs(nauwkeurigheid|f(x)| of abs(x_{n+1}-x_n)).