vectorleer

Vectorleer is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met vectoren, vectorruimten en lineaire transformaties. Het onderzoekt hoe vectoren kunnen worden gecombineerd door optelling en schaalvermenigvuldiging en hoe lineaire kaarten deze vectoren vervormen. Binnen dit vakgebied ligt de nadruk op de algebraïsche structuur van vectorruimten en de aansluiting met matrices.

Belangrijke concepten zijn onder meer vectorruimten, lineaire onafhankelijkheid, basis en dimensie, en de span van een verzameling vectoren. Een lineaire transformatie wordt gezien als een kaart tussen vectorruimten die voldoet aan additieve en homogeniteitsaxioma's; in termen van een gekozen basis kan zo'n kaart worden weergegeven door een matrix.

Daarnaast zijn inwendig productruimten, normen en hoeken tussen vectoren cruciaal voor meetkunde en analyse. Orthogonaliteit en orthonormale bases vereenvoudigen berekeningen; het Gram-Schmidt-proces levert orthonormale bases uit een willekeurige basis. Eigenschappen zoals eigenwaarden en eigenvectoren leiden tot diagonalisatie en tot de spectrale eigenschappen van matrices, zoals vastgelegd in het spectraal theorema voor bepaalde klassen matrices.

Vectorleer bestrijkt zowel finite‑dimensionale als oneindig-dimensionale ruimtes, zoals R^n en functieruimten. Toepassingen komen voor in de natuurkunde, computergraphics, statistiek en datawetenschap, bijvoorbeeld via lineaire modellering, hoofdcomponentenanalyse en oplossingsmethoden voor systemen van lineaire vergelijkingen.

Historisch gezien ontwikkelde zich de vectorleer in de 19e eeuw met bijdragen van Grassmann en anderen, en werd het in de 20e eeuw geformaliseerd als lineaire algebra. Vandaag vormt het een fundament voor vele wiskundige en toegepaste disciplines.