productruimten

Productruimten zijn de topologische ruimten die ontstaan uit een familie van topologische ruimten (X_i) met de cartesiaanse productruimte ∏_{i∈I} X_i, uitgerust met de producttopologie. Een basis voor deze topologie bestaat uit de sets ∏_{i∈I} U_i, waarbij Ui open is in X_i en slechts voor een eindig aantal i Ui ≠ X_i.

De projecties π_i: ∏ X_i → X_i zijn continu en surjectief; de producttopologie is de kleinst mogelijke topologie op ∏ X_i waardoor alle projecties continu blijven. Voor eindige indexsets coincideert de producttopologie met de gebruikelijke topologie op het cartesiaanse product; bij oneindige indexsets is de producttopologie strikt fijner dan de box-topologie.

Eigenschappen: als elke X_i Hausdorff is, dan ∏ X_i is Hausdorff; ook T1 blijft behouden. Een belangrijke eigenschap is de Tychonoff-stelling: de productruimte ∏ X_i is compact als elke X_i compact is (met de producttopologie), ongeacht de grootte van I.

Metrisering en topologische eigenschappen: als I tellbaar is en elk X_i metriseerbaar is, dan is ∏ X_i metriseerbaar. In het algemeen is de productruimte met oneindig veel factoren niet noodzakelijk metriseerbaar. Een veelgebruikte metriek voor tellere indexsets is d(x,y) = ∑_{i=1}^∞ 2^{-i} min(1, d_i(x_i,y_i)).

Voorbeelden en toepassingen: R^n verschijnt als de productruimte van n kopieën van R. Cantor-ruimte kan worden gezien als het product van een oneindige reeks twee-elementruimten. Productruimten worden veelvuldig gebruikt in analyse, functionaalanalyse en wiskundige topologie vanwege hun conservatie van tal van eigenschappen en hun universele karaktereigenschap.