Orthogonaliteit

Orthogonaliteit is een concept dat in wiskunde op verschillende manieren wordt gebruikt, maar gemeenschappelijk heeft het idee van “perpendicularie” of van onafhankelijke richtingen met elkaar te maken. In een inner-productruimte, zoals het Euclidische vlak of R^n, zijn twee vectoren v en w orthogonaal als hun inwendig product v·w gelijk is aan nul. Dit komt overeen met een hoek van 90 graden tussen de vectoren. Een verzameling vectoren is orthogonaal als elk paar vectoren onderling orthogonaal is; als elke vector bovendien eenheidslengte heeft, spreken we van een orthonormale basis.

Orthogonaliteit is ook van fundamentele aard bij matrices. Een matrix A is orthogonaal als A^T A = I. Zulk een matrix behoudt lengtes en hoeken: voor elk vector x geldt ||Ax|| = ||x|| en (Ax)·(Ay) = x·y. De kolommen (en rijen) van een orthogonale matrix zijn orthogonaal. Een belangrijk gevolg is dat de inverse van een orthogonale matrix gelijk is aan zijn transpose: A^{-1} = A^T.

In projecties en lineaire systemen levert orthogonaliteit een eenvoudige decompositie op. Een vector x kan worden geschreven als x = x_parallel + x_perpendicular ten opzichte van een subspace, waarbij x_perpendicular orthogonaal is aan die subspace. Dit onderbouwt het minste-kwadraatprincipe: de oplossing van A x ≈ b geeft x die A^T A x = A^T b.

Verder wordt orthogonaliteit in functie-ruimtes gedefinieerd via integralen: twee functies f en g zijn orthogonaal op een interval I als ∫_I f(t) g(t) dt = 0. Voorbeelden zijn de functies in Fourier-reeksen of de afstanden die door Gram-Schmidt worden gegenereerd.

Toepassingen bevinden zich onder meer in signaalverwerking, statistiek, numerieke analyse, en de theoretische fysica.