lineariseren

Lineariseren is het proces waarbij een niet-lineaire relatie of dynamisch systeem lokaal wordt benaderd door een lineaire relatie rondom een gekozen referentiepunt. Het doel is complex gedrag beter begrijpbaar te maken en berekeningen eenvoudiger uit te voeren door gebruik te maken van een lineair model in de buurt van dat punt.

In de eendimensionale, differentieerbare situatie geldt voor een functie f: R → R met x0 als referentiepunt de eerste-orde linearisatie f(x) ≈ f(x0) + f′(x0)(x − x0). In meerdere variabelen geldt voor f: R^n → R^m dat f(x) ≈ f(x0) + J_f(x0)(x − x0), waarbij J_f(x0) de Jacobiaan van f bij x0 is. Dit is de first-order Taylorbenadering en beschrijft de lineaire tangent die de kromme of het oppervlak op die locatie benadert.

Lineariseren vindt brede toepassing in de wetenschap en techniek. In dynamische systemen en controle engineering vormt linearisatie rondom een evenwichtspunt of werkpunt de basis voor stabielheidsanalyse en small-signal analyes. In de optimalisatie en numerieke wiskunde wordt linearisering gebruikt in Newton-achtige methoden om nonlineariteiten lokaal te corrigeren. In robotica en simulatie vereenvoudigt het plannen en modelleren van nabijgelegen situaties door een lineair model te hanteren.

Beperkingen zijn onder meer dat de nauwkeurigheid sterk afhankelijk is van de afstand tot het referentiepunt en van de mate van nonlineairiteit. De foutterm bij de Taylorbenadering groeit met de afstand en kan bij sterke nonlineariteit aanzienlijk zijn, waardoor de lineaire benadering lokaal blijft en niet wereldwijd geldig is.