evenwichtspunt

Een evenwichtspunt is een toestand van een dynamisch systeem waarin de toestand niet verandert in de tijd; het systeem blijft in die toestand als er geen verstoringen optreden. Het begrip wordt breed toegepast in natuur- en techniek, maar ook in economische en biologische modellen.

Voor continu tijdsystemen geldt: dx/dt = F(x). Een evenwichtspunt x voldoet aan F(x) = 0. Voor discrete tijdssystemen geldt: x_{t+1} = G(x_t). Een evenwichtspunt is dan x = G(x). In beide gevallen is het punt een vaste toestand waar veranderingen in het model stoppen zolang de omstandigheden hetzelfde blijven.

Stabiliteit is een centrale eigenschap van een evenwichtspunt. Een punt is stabiel als kleine storingen verbleken en het systeem terugkeert naar x. Het is asymptotisch stabiel als het terugkeren naar x daadwerkelijk naar normaal tendieert, en onstabiel als storingen juist leiden tot afwijkingen. In continue systemen wordt stabiliteit vaak bepaald via de linearisatie rond x, bijvoorbeeld door de Jacobiaan D F(x) te bestuderen: als alle eigenwaarden een negatieve reële component hebben, is het punt stabiel; bij discrete systemen moeten alle eigenwaarden modulus kleiner dan 1 hebben.

Voorbeelden zijn onder andere het eenvoudige lineaire systeem dx/dt = -kx met k>0, dat een stabiel evenwichtspunt op x=0 heeft, en een pendel met demping waarbij de onderkant van de cilinder een stabiel punt is. In het logistieke kaart-model x_{t+1}=r x_t(1-x_t) leveren vaste punten afhankelijk van de parameter r uiteenlopende stabiliteitsgedragingen op.

In de chemie duidt men soms ook op chemisch evenwicht, een toestand waarin voor een reactie de voorwaartse en achterwaartse snelheden gelijk zijn. Het begrip evenwichtspunt fungeert zo als een algemene beschrijving van stabiele rustposities in dynamische systemen.