kenmerkenfunctie

Een kenmerkenfunctie, ook wel indicatorfunctie genoemd, is een speciale functie die een subset A van een verzameling X aanduidt. De kenmerkenfunctie χ_A: X → {0,1} wordt gedefinieerd door χ_A(x) = 1 als x ∈ A, en χ_A(x) = 0 als x ∉ A. In literatuur verschijnt deze functie vaak als indicatorfunctie, maar men spreekt ook van de karakteristieke functie.

Deze functie wordt veel gebruikt om een deel van de ruimte te markeren of om gebeurtenissen af te bakenen. In de wiskunde en statistiek fungeert χ_A als bouwsteen voor simple functies en voor het uitsplitsen van integralen of verwachtingen langs A en zijn complement.

Eigenschappen: χ_A is een eenvoudige (step)functie. Voor elke functie f geldt f·χ_A = f op A en 0 buiten A; daarmee geldt ∫ f dμ = ∫ f·χ_A dμ + ∫ f·χ_{A^c} dμ, en in het bijzonder ∫ f dμ over A is ∫_A f dμ. χ_A is meetbaar; in L^p-ruimten isnorm gesproken: voor 1 ≤ p < ∞ geldt ||χ_A||_p = μ(A)^{1/p}, en ||χ_A||_∞ = 1 als μ(A) > 0 (anders 0).

Toepassingen: in kansrekening geeft I_E = χ_E de indicatorvariabele van een gebeurtenis E, met E[I_E] = P(E). Indicatoren worden gebruikt om integranden te splitsen, om evenementen te isoleren en om eenvoudige functies te construeren.

Voorbeelden: laat E het geheel Van even getallen zijn; χ_E(n) equals 1 als n even, anders 0. Dit maakt het gemakkelijk om tellen en verwachtingen te vereenvoudigen.