eenparamsgebied

Eenparamsgebied, ook wel eenparametersgebied genoemd, is een term uit de wiskunde voor een familie van domeinen D_t die afhankelijk zijn van een enkele parameter t uit een interval I ⊆ R. De verzameling {D_t} vormt samen een eenparameter-gezin van domeinen. Doorgaans is elk D_t een open en verbonden subset van een ruimte zoals het vlak R^2 of de complexe getallen C, en de grens ∂D_t kan met t op een soepele manier veranderen.

Formeel kan men een eenparametergebied beschrijven als een kaart t ↦ D_t waarbij D_t variëert naargelang t, meestal met t in een interval I. In veel toepassingen evolueert de grens ∂D_t regelmatig in t, bijvoorbeeld wanneer D_t door een diffeomorfisme φ_t wordt verkregen uit een basisgebied D_0: D_t = φ_t(D_0). Zulke beschrijvingen maken het mogelijk om de invloed van de parametervariatie op functies die gedefinieerd zijn op D_t te bestuderen.

Voorbeelden zijn onder andere een open schijf D_t = { z : |z| < r(t) } met een radius r(t) die afhangt van t, of domeinen whose boundary een curve γ(t, s) parametriseert als s doorloopt over ∂D_t. In complexe analyse en potentiaaltheorie komt men vaak voor deze eenparameterfamilies tegen bij conformale kaarten en bij Hadamard-variatie van domeinen.

Eigenschappen die men vaak onderzoekt zijn de regulariteit van t-variaties (bijv. C^k- of analytieke afhankelijkheid), de sterk of zwak regelmaat van de grens en de invloed op gerelateerde functies zoals het Poisson- of Green-function. Eenparamsgebieden vinden toepassing in vormvariatie, vloeistofdynamica, en shape optimization.