eenparameterfamilies

Eenparameterfamilies beschrijven verzamelingen objecten die langs één continue parameter t veranderen. In de gebruikelijke opvatting bestaat een eenparameterfamilie uit een verzameling objecten X_t, waarbij t uit een interval I ⊂ R varieert. De afhankelijkheid kan op verschillende manieren worden geformaliseerd: soms als de kaart t ↦ X_t die elk t aan het bijbehorende object koppelt; of als een familie van functies f_t: X → Y die samenkomt in een samengestelde kaart F: X×I → Y met F(x, t) = f_t(x). Als F glad is, spreken wiskundigen van een gladde éénparameterfamilie.

Voorbeelden: een oneindig familie lijnen door de oorsprong: y = t x met t ∈ R; een familie cirkels met middelpunt in de oorsprong en variërende straal t > 0: x^2 + y^2 = t^2; een familie functies y = t x^2, t ∈ R, als f_t(x) = t x^2.

Toepassingen: beschrijven hoe objecten veranderen bij variatie van een enkele parameter, bijvoorbeeld bij oplossingen van parameterafhankelijke differentiaalvergelijkingen, bij deformationstheorie en moduli-ruimten, waarvan men verschillende mogelijke structuren langs één controleparameter bekijkt.

Verschil met meerparameters: als de indexset meer dan één onafhankelijke parameter bevat, spreekt men van een n-parameterfamilie. Eenparameterfamilies vormen zo de basis voor het beschrijven van continue deformations en families in wiskunde.