distributietheorie

Distributietheorie is een tak van de wiskunde die de concepten van functies uitbreidt door middel van distributies, oftewel generalized functions. Een distributie is een continue lineaire functionaal op de ruimte van geteste functies met compacte ondersteuning, gewoonlijk denoted als D(Ω). Hiermee kunnen objecten die geen klassieke functies zijn, zoals de Dirac-delta, op een rigoureuze manier worden behandeld. Distributietheorie biedt zo een gemeenschappelijk kader voor analyse, differentiaalvergelijkingen en theoretische fysica.

Historisch is de theorie in de jaren vijftig ontwikkeld door Laurent Schwartz. Het doorbreekt de beperking van klassieke functies door afgeleiden en integratie uit te drukken voor objecten die niet glad genoeg zijn. Dit maakt het mogelijk zwakke oplossingen van PDE’s te definiëren en te bestuderen.

Belangrijke concepten zijn onder meer de actie van een distributie T op een testfunctie φ, genoteerd als ⟨T, φ⟩. De afgeleide van een distributie wordt gedefinieerd via ⟨T', φ⟩ = -⟨T, φ'⟩, waardoor afgeleiden van minder regelmatige functies toch betekenis krijgen. Voorbeelden zijn de Dirac-delta δ en de stapfunctie. Het begrip ondersteuning en de convergentie in D'(Ω) spelen een centrale rol bij analyse en gebruik.

Uitgebreiding met Fourier-transformatie leidt tot getemperde distributies, d.w.z. distributies die handelen op de ruimte van snel afnemende functies (Schwartzruimte). De Fourier-coëfficiënten kunnen zo voor distributies worden gedefinieerd en toegepast in signaalverwerking en in PDE-analyse.

Distributietheorie bevat ook relaties met meettheorie: elke lokaal eindige maat definieert een distributie via ⟨μ, φ⟩ = ∫ φ dμ, zodat de theorie zowel functies als meetwaarden omvat. Toepassingen zijn onder meer de studie van PDE’s, golven, kwantumveldtheorie en andere vakgebieden waar singulariteiten voorkomen.