additiviteits

Additiviteit, of additiviteit, verwijst naar een wiskundige eigenschap waarbij de waarde van een functie, maat of operatie op de vereniging van onderdelen gelijk is aan de som van de waarden op elk onderdeel. In de meeste contexten gaat het om disjuncte onderdelen, waarbij de delen elkaar niet overlappen.

In de maatentheorie is additiviteit een fundamenteel begrip. Een setfunctie μ gedefinieerd op een verzameling van samengestelde verzamelingen is finitelijk additief als μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) geldt voor twee disjuncte verzamelingen A en B. Een strengere Eigenschap is σ-additiviteit of tellend additiviteit: μ(⋃_{n≥1} A_n) = Σ_{n≥1} μ(A_n) voor elke disjecte collectie van verzamelingen {A_n} in de σ-algebra. Een maat die σ-additief is, wordt meestal een maat genoemd; dit is essentieel voor de theorie van integratie en kansrekening.

In de kansrekening is additiviteit kritisch. Voor twee gebeurtenissen A en B geldt voor een kansmaat P: als A en B disjunct zijn, dan P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Algemeen is P tellend additief: P(⋃ A_n) = Σ P(A_n) voor disjuncte gebeurtenissen A_n. Zo dragen additiviteit en tellende sommen bij aan de mogelijkheid om complexe gebeurtenissen op te splitsen in eenvoudiger onderdelen.

In de wiskunde is ook additiviteit een eigenschap van functies zoals f(x + y) = f(x) + f(y) (additiviteit op reële getallen). Zulke functies zijn homomorfismen van het meetkundige of algebraïsche bereik en leiden tot lineaire eigenschappen onder extra aannames zoals continuïteit.

Voorbeelden van additieve maten zijn de Lebesgue-maat en de tellingmaat; als een maat niet tellend additief is, spreekt men van niet-tellende of niet-additieve functies. Subadditiviteit is een verwant maar minder strikte eigenschap: μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B).