maatentheorie

Maatentheorie is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met het meten van verzamelingen en met de definitie van integratie ten opzichte van een maat. Een meetruimte is een drietal (X, F, μ): X is een verzameling, F een σ-algebra van subsets van X, en μ: F → [0, ∞] een maat met μ(∅) = 0 en de eigenschap van tellende additiviteit: μ(⋃n A_n) = ∑ μ(A_n) voor disjuncte A_n in F.

Een verzameling behoort tot F en wordt meetbaar genoemd. Een functie f: X → R is meetbaar als voor elke α ∈ R de preimage f^{-1}((-∞, α)) in F ligt. De integraal van een meetbare functie ten opzichte van μ heet de Lebesgue-integratie, een fundamenteel instrument in analyse en waarschijnlijkheidsrekening. Belangrijke resultaten zijn onder meer de monotone convergence theorem en de dominated convergence theorem, evenals Fubini’s en Tonelli’s stellingen die integratie mogelijk maken over grenzen heen.

Voorbeelden en constructies: de Lebesgue-maat op de reële getallen is een standaard maat; de tellingmaat telt de elementen van verzamelingen; probabilistische maten zijn maten met μ(X) = 1. Via de Carathéodory-extensie kan elke pre-measure worden uitgebreid tot een maat op de σ-algebra die door die algebra wordt gegenereerd.

Toepassingen en geschiedenis: maatentheorie is essentieel voor analyse, kansrekening en statistiek. Belangrijke bijdragen kwamen van Borel, Lebesgue en Carathéodory, die de instrumenten hebben ontwikkeld die vandaag in wiskunde en toepassingen worden gebruikt.