homomorfismen

Homomorfismen zijn kaarten tussen algebraïsche structuren die de structuur bewaren. Afhankelijk van de structuur zijn er verschillende operaties die bewaard moeten blijven: bij groepen is een homomorfisme f: G → H zodanig dat f(g1 g2) = f(g1) f(g2) voor alle g1, g2 ∈ G; bij ringen verkrijgt men f(a + b) = f(a) + f(b) en f(a b) = f(a) f(b); bij vectorruimten en modules is f een lineaire transformatie, dus f(v+w) = f(v) + f(w) en f(α v) = α f(v). De precieze axioma's hangen af van de gebruikte taal en de aanwezige operaties.

Belangrijke concepten bij homomorfismen zijn de kernel en de afbeelding. De kernel ker f = {g ∈ G | f(g) = e_H} is een onderstructuur (bij gruppen: een ondergroep); de afbeelding im f = {f(g) | g ∈ G} is een substructuur van H. Het Eerste isomorfie-stelling stelt dat G / ker f ≅ im f. De samenstelling van homomorfismen is weer een homomorfisme.

Terminologie: een homomorfisme van een structuur naar zichzelf wordt een endomorfisme genoemd; een automorfisme is een bijectief isomorfisme van de structuur naar zichzelf.

Voorbeelden: f: Z → Z, f(n) = k n, is een groephomomorfisme van (Z, +); de modulo-kaart f: Z → Z/nZ, f(a) = a mod n, is een ringhomomorfisme; projectie p: Z × Z → Z, p(a,b) = a, is een groep- en Z-modulohomomorfisme.

Toepassingen van homomorfismen liggen in het classificeren van structuren via invariants en quotients, en in het leggen van relaties tussen verschillende algebraïsche systemen.