groephomomorfisme

Groephomomorfisme, in het Nederlands vaak aangeduid als growth homomorphism, is een term die in de groepentheorie wordt gebruikt om een relatie tussen een homomorfisme en de groeidata van groepen te onderzoeken. De groeidata van een groep wordt meestal bestudeerd via de vergroeiing van bolletjes in de gekoppelde getalsystemen (word metric) van een finitely generated groep.

Hoewel de term niet eenduidig formeel is vastgelegd in fundamentele handboeken, verwijst een groephomomorfisme typisch naar een homomorfisme φ: G → H waarbij geprobeerd wordt het effect van φ op de groei van G in kaart te brengen. In de praktijk gaat het dan om hoe de beeldverdeling van de ballen B_G(n) onder φ zich verhoudt tot de groeifuncties van H. Concreet kan men spreken over omstandigheden waarin de groei van φ(B_G(n)) comparable is met de groei van ballen in H, soms met gebruik van constante omzettingen of asymptotische vergelijkingen. Doorgaans ligt de nadruk op het behoud of beperken van drastische wijzigingen in de groeirichting (bijv. polynomial, exponentiële groei).

Wanneer groephomomorfisme wordt besproken, is het belangrijk te beseffen dat definities kunnen variëren afhankelijk van de bron. Enkele gangbare observaties zijn:

- Een injectieve homomorfisme met niet-ledenwaardige kernel kan soms de groeirichting behouden.

- Een lineaire (of eindige index) inclusie van een subgroep kan de groeitype van de subgroep in het grotere geheel handhaven.

- Een triviale homomorfisme kan de groeifunctie drastic veranderen of doen verdwijnen.

Groephomomorfismen zijn gerelateerd aan het brede gebied van geometrische groepentheorie, waar groeivormen en coarse eigenschappen onder morfismen worden bestudeerd. Zie ook groeifunctie, groepentheorie en quasi-isometrie.