Variatiemethoden

Variatiemethoden zijn wiskundige en numerische technieken om extremale waarden van functionals te vinden, bijvoorbeeld energie- of kostenfuncties. Ze zijn gebaseerd op de calculus of variations en variatieprincipes: bij een gegeven functionaal J[y] zoekt men een functie y die J[y] minimaliseert of maximaliseert onder bepaalde randvoorwaarden.

Historisch ontstonden ze uit werk van onder meer Euler en Lagrange in de 18e eeuw en kregen ze later grote ontwikkeling door Rayleigh en Ritz, met name in de kwantummechanica en mechanica. In de natuurkunde en engineering leveren variatiemethoden vaak effectieve benaderingen op wanneer exacte oplossingen ontbreken of onpraktisch zijn.

De algemene aanpak is het formuleren van een probleem als het zoeken naar een functie die een functionaal minimaliseert onder randvoorwaarden. Dit leidt tot de Euler-Lagrange vergelijking, afgeleid uit δJ = 0. In praktijk kiest men vaak een ruimte van proeffuncties (trial functions) met enkele vrijheidsgraden en parameteriseren deze functies. Door J te differentiëren naar deze parameters en te zoeken naar de optimale waarden, verkrijgt men een benadering van de oplossing. Bekende variatietechnieken zijn de Rayleigh-Ritz methode en de Galerkin methode, die veel worden toegepast bij eigenwaardeproblemen en veldvergelijkingen. Een kenmerkende eigenschap is het geven van boven- of ondergrenzen voor waarden zoals energie, afhankelijk van de keuze van de trial ruimte.

Toepassingen bestrijken onder meer de kwantummechanica (grondtoestand en excitaties), mechanica van materialen en constructies, vloeistof- en elektrostatica, en in de statistiek de variational inference, waar complexe kansdistributies worden benaderd via optimalisatie van een expliciete familie distribuities. Variatiemethoden vormen zo een overkoepelend raamwerk voor analoge en numerieke benaderingen.