variatietechnieken

Variatietechnieken zijn methoden om extrema van functionalen te vinden door variaties van functies of paden te bestuderen. In de calculus of variations onderzoekt men functionalen J[y] = ∫ F(x, y(x), y′(x)) dx en zoekt men y die J(y) minimaliseren of stationariseren onder gegeven randvoorwaarden. De noodzakelijke voorwaarde is de Euler–Lagrange-vergelijking d/dx (∂F/∂y′) − ∂F/∂y = 0, die vaak leidt tot oplossingen voor fysische of geometrische problemen, zoals kortste paden of minimale oppervlakken.

In de natuurkunde speelt het principe van de minste actie een centrale rol: het pad waarlangs de actie S = ∫ L dt stationair is, levert de bewegingsvergelijkingen. In de kwantummechanica wordt de variational methode gebruikt om de grondtoestandenergiestaat te benaderen door een trialfunctie te variëren en de verwachting van de Hamiltoniaan te minimaliseren (Rayleigh–Ritz).

In statistiek en machine learning wordt variational inference gebruikt om complexe posterior-distributies te benaderen. Door de ware posterior te vervangen door een eenvoudiger familie en de evidence lower bound (ELBO) te maximaliseren, worden tractabele benaderingen verkregen. Variational autoencoders zijn hiervan een bekende toepassing, waarbij de encoder en decoder probabilistisch zijn en gezamenlijk via variatie worden geleerd.

In de numerieke wiskunde vormt een variational formulation de zwakke vorm van PDE’s en ligt de basis voor methoden zoals de eindige-elementenmethode (FEM). Hiermee kunnen complexe problemen efficiënt worden opgelost door optimalisatie in functieruimten.

Voordelen zijn flexibiliteit en een stevige theoretische onderbouwing; nadelen omvatten non-convexiteit, de keuze van functieruimten en randvoorwaarden, en vaak het leveren van benaderde oplossingen.