posteriordistributies

Posteriordistributies zijn de kansverdelingen van de parameters nadat data is geobserveerd. In de Bayesiaanse statistiek wordt aangenomen dat θ een willekeurige variabele is met een priordistributie p(θ). De posterior is p(θ|D) = p(D|θ) p(θ) / p(D), waarbij p(D) = ∫ p(D|θ) p(θ) dθ.

De posterior combineert voor-informatie uit het priors met informatie uit de data via de likelihood en geeft een volledig probabilistisch beeld van θ na observatie van D. Het wordt ook gebruikt om toekomstige data te voorspellen via de posteriorpredictieve verdeling p(y|D) = ∫ p(y|θ) p(θ|D) dθ.

Conjugacy: als priors en likelihood conjugaat zijn, blijft de familie van de prior behouden in de posterior. Voorbeelden: Beta-prior met Binomialdata geeft een Beta-posterior; Gamma-prior met Poissondata geeft een Gamma-posterior; normaal met normaal-likelihood geeft een normaal-geposterior.

Computatie: gesloten vormen bestaan meestal alleen bij conjugate modellen. Bij andere gevallen worden numerieke methoden toegepast, zoals Markov-keten Monte Carlo (MCMC) of variational inference. De posteriorpredictieve verdeling wordt verkregen door integratie van p(y|θ) met p(θ|D).

Interpretatie en gebruik: samenvattingen zoals de posterior mean, mediaan of MAP geven een centrale tendens; credible intervals geven de onzekerheid rondom θ aan. De volledige posterior kan worden gebruikt voor beslissingen onder onzekerheid.

Hiërarchische modellen brengen hyperpriors en meerdere niveaus in de posterior. Priors beïnvloeden resultaten, vooral bij weinig data; het is aanbevolen priors te toetsen op robuustheid en gevoeligheid.