Precisiearitmetiek

Precisiearitmetiek is het vakgebied binnen wiskunde en informatica dat zich toelegt op getallenberekeningen waarbij resultaten exact zijn of waar een expliciet gegarandeerde foutbepaling bij hoort. In tegenstelling tot standaard numerieke methoden met zwevende komma’s, streeft precisiearitmetiek naar wiskundige nauwkeurigheid die onafhankelijk is van afrondingsfouten.

Representaties en rekenkaders: getallen worden vaak weergegeven als gehele getallen of rationale getallen; vaker wordt ook gewerkt met algebraïsche getallen of via modellen die arbitraire precisie toestaan. Een belangrijke tak is multi-precision arithmetic, waarbij getallen met zo veel cijfers als nodig is worden vertegenwoordigd en bewerkingen exact plaatsvinden. In de praktijk worden vaak libraries als GMP, MPFR of ARB gebruikt om controleerbare precisie te bieden.

Belangrijke bewerkingen en algoritmen: basisbewerkingen (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling) kunnen geheel exact worden uitgevoerd voor integers en rationals; ook gcd, lcm, en factorisatie komen voor. Symbolische en algebraïsche technieken maken gebruik van precieze representaties van algebraïsche getallen en polynomen. Daarnaast spelen onderwerpen zoals intervalarithmetiek en formal verification een rol bij het leveren van garanties over foutenmarges.

Relatie en toepassingen: precisiearitmetiek vormt de kern van computeralgebra-systemen, cryptografie en wiskundige verificatie. Het biedt een alternatief voor zwevende-kommaberekeningen wanneer exactheid noodzakelijk is, of wanneer foutbepaling moet worden aangetoond. Uitdagingen betreffen onder meer de reken- en geheugenkosten van arbitraire precisie en het ontwerp van efficiënte, schaalbare algoritmen.